\subsection{一维自由振动}
\begin{definition}[][微振动]
    \textbf{Micro vibration}\quad 在稳定平衡位置附近的运动。
    稳定平衡位置是使$U(q)$取最小值的位置。
\end{definition}
当偏移距离很小时，将其按偏移平衡位置的距离展开，保留第一个非零项：
\begin{equation*}
    U(q)-U(q_0)\approx \frac12k(q-q_0)^2
\end{equation*}
取势能零点为$U(q_0)$，记
\begin{equation*}
    x=q-q_0
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
    U(x) = \frac12kx^2
\end{equation*}
同时，动能可写成
\begin{equation*}
    \frac12 a(q)\dotq^2 = \frac12 a(q)\dotx^2.
\end{equation*}
对于微振动，$a(q)$可以用$m=a(q_0)$代替
则拉格朗日方程为
\begin{equation}
    L = \frac12 m\dotx^2-\frac12 kx^2.
\end{equation}
\begin{note}
    只有在笛卡尔坐标里，m为质量。
\end{note}
令$\omega = \sqrt{k/m}$，则运动方程为
\begin{equation}
    \ddotx+\omega^2x=0.
\end{equation}
通解为
\begin{equation}
    x = c_1\cos{\omega t} + c_2\sin{\omega t}.
\end{equation}
或写成
\begin{equation}
    x = a\cos{(\omega t + \varphi)}
\end{equation}
\begin{note}
    $a$为振幅，$\varphi$为初位移。$\omega$为\textbf{圆频率}，
    在理论物理中通常简称为\textbf{频率}。

    频率是振动的基本特征量,不依赖于运动初始条件.它完全由力学系统本身的性质决定.
    但是应该指出,频率的这个性质与小振幅振动假设有关,
    在更高阶近似时就没有这个性质了（取的极小值在更高阶）.
    从数学角度看,它与势能是坐标的二次函数有关.
\end{note}
\subsection{多自由度系统振动}

同样对平衡位置展开并略去二阶以上的小量：
\begin{equation}
    U = \frac12 k_{ik}x_ix_k
\end{equation}
同样的，动能可写成
\begin{equation}
    T = \frac12 m_{ik}\dotx_i\dotx_k,\quad m_{ik} = a_{ik}(q_0).
\end{equation}
通常有
\begin{equation*}
    k_{ik}=k_{ki},\quad m_{ik}=m_{ki}
\end{equation*}
\begin{remark}
    m只有在笛卡尔坐标里是质量。
\end{remark}

则拉格朗日函数
\begin{equation}
    L = T - U = \frac12 m_{ik}\dotx_i\dotx_k - \frac12 k_{ik}x_ix_k.
\end{equation}
\begin{equation}
    \dL = m_{ik}\dotx_k\rmd \dotx_i - k_{ik}x_k\rmd x_i.
\end{equation}
故拉格朗日方程为
\begin{equation}
    m_{ik}\ddotx_k+k_{ik}x_k=0.
\end{equation}
这是$s$个线性常系数微分方程组。要使上述方程组有非零解，则其系数行列式必为0：
\begin{equation}
    |k_{ik}-\omega^2m_{ik}|=0.
\end{equation}
\begin{note}
    上述方程也被称为\textbf{久期方程}。
    这样求出来的$s$个实根为系统的\textbf{特征频率}或\textbf{本征频率}。
\end{note}
其解为
\begin{equation}
    x_k = A_{k\alpha}\rme^{i\omega_\alpha t}
\end{equation}
\begin{note}
    以上内容写成矩阵形式更易理解。
    \begin{equation*}
        \vecK\vecA=\omega^2\vecM\vecA
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \vecM^{-1}\vecU\vecA=\omega^2\vecA.
    \end{equation*}
    问题转化为了求矩阵$\vecM^{-1}\vecU$的特征值和特征向量。
    上述矩阵是一个正定矩阵，其特征值必然大于0。
    可以通过相似对角化，使不同本征值对应的本征矢相互正交。
    \begin{equation}
        x_k = \Delta_{k\alpha}\Theta_\alpha,\quad \Theta_\alpha=C_\alpha \rme^{i\omega_\alpha t}.
    \end{equation}
    将$\Theta$看作新的广义坐标，这样的坐标为\textbf{简正坐标}，每个简正坐标都满足方程
    \begin{equation}
        \ddot{\Theta}_\alpha+\omega^2_\alpha \Theta_\alpha = 0.
    \end{equation}
    同时拉格朗日函数可以表示为
    \begin{equation}
        \frac12 m_\alpha(\dot{\Theta}_\alpha^2-\omega^2_\alpha \Theta_\alpha^2)
    \end{equation}
    也可以定义简正坐标
    \begin{equation}
        Q_\alpha = \sqrt{m_\alpha}\Theta_\alpha
    \end{equation}
    则拉格朗日函数为
    \begin{equation}
        L = \frac12 (\dot{Q}_\alpha^2-\omega^2_\alpha Q_\alpha^2)
    \end{equation}
\end{note}
\begin{note}
    用简正坐标表示的动能和势能也称为对角化的形式,因为它们的系数矩阵,
    即惯性系数矩阵和刚性系数矩阵此时均是对角矩阵.
    将拉格朗日函数化为对角形式的过程也称为\textbf{对角化(diagonalization)}.
    从多项式的角度来说,用简正坐标表示时动能、势能以及拉格朗日函数的表示式是无交叉项的.
    从运动微分方程来看,每个方程中仅出现一个简正坐标,不同简正坐标的方程之间是无耦合的(uncoupled).
    总而言之,简正坐标相应的简正振动之间是相互独立的.
    每一个简正坐标相应的运动表示系统的一种振动模式,
    称为\textbf{简正模(normal mode)}(简称为模),
    是系统整体运动行为的一种表现.
    各个模的激发\textit{取决于初始条件,即对特定的初始条件系统仅出现一种简正模}.
    在量子理论中,这些简正模相应的量子是所谓的准粒子或元激发.
    代表性的例子是\textit{晶格振动简正模相应的声子}.
\end{note}

\subsection{非简谐振动}
在以上的操作中，对于系数$a_{ik}(q)$只保留了常数项，若同时保留一阶项，则拉格朗日函数为
\begin{equation}
    L = \frac12(m_{ik}\dotx_i\dotx_k-k_{ik}x_ix_k)+\frac12 n_{ikl}\dotx_i\dotx_k x_l
    -\frac13 l_{ikl}x_ix_kx_l.
\end{equation}
用简正坐标$Q$表示，则
\begin{equation}
    L = \frac12(\dot{Q}_\alpha \dot{Q}_\alpha -\omega^2_\alpha Q_\alpha^2)
    +\frac12 \lambda_{\alpha\beta\gamma}\dot{Q}_\alpha\dot{Q}_\beta Q_\gamma
    -\frac13 \mu_{\alpha\beta\gamma}Q_\alpha Q_\beta Q_\gamma.
\end{equation}
由此导出的运动方程有如下形式
\begin{equation*}
    \ddot{Q}_\alpha + \omega^2_\alpha Q_\alpha = f_\alpha(Q,\dot{Q},\ddot{Q}).
\end{equation*}
其解可以表示为
\begin{equation*}
    Q_\alpha = Q_\alpha^{(1)}+Q_\alpha^{(2)}
\end{equation*}
其中$Q_\alpha^{(1)}$为齐次通解，$Q_\alpha^{(2)}$为非齐次特解。
且有$Q_\alpha^{(2)}<<Q_\alpha^{(1)}$

在高一阶近似中, 在 (28.3)右端只保留到二阶项,可得 \(Q_a^{(2)}\) 的方程
\begin{equation*}
    \ddot{Q}_\alpha^{(2)} + \omega_\alpha^2 Q_\alpha^{(2)} = f_a (Q^{(1)}, \dot{Q}^{(1)}, \ddot{Q}^{(1)}),
\end{equation*}
